Mathematical Physics Vol 1

A.4 Analytical Expressions of Some Fractional Derivatives

463

Taylor’s Formula / Serie

The remainder

RL

D α + j

a + f ( x 0 )

RL I α + m a +

RL I α + m

α + j + R

f ( x )= ∑ m − 1 j = 0

m ( x ) , α > 0

( x − x 0 )

R m ( x )=

a + f ( x )

Γ ( α + j + 1 )

RL

D α

( m + 1 ) x f ( ξ )

Γ ( α ) c j ( x 0 ) Γ (( j + 1 ) α )

(

a + )

( j + 1 ) α − 1 + R

( x − a ) ( m + 1 ) α

f ( x )= ∑ m

( x − x 0 )

m ( x )

R m ( x )=

j = 0

Γ (( m + 1 ) α + 1 )

C

C

C

D α

D α

D α

a + f ( a )

a + f ( a )

( x − a ) α +

( x − a ) 2 α + ···

f ( x )= f ( a )+ f ( x )= ∑ m − 1

a +

Γ ( α + 1 )

Γ ( 2 α + 1 )

1 Γ ( α m + 1 ) R

D ( α k ) f ( 0 ) Γ ( α k + 1 )

x 0 ( x − z )

α k + R

α m − 1 D ( α k ) f ( z ) d z

k = 0 a k x

m ( x ) , where x > 0 and a k =

R m ( x )=

TableA.1: Fractional Taylor Formulas.

A.3.3 Fractional Taylor Formulas

Among the different generalizations to the fractional case of Taylor series in the literature, we present the following: In these relations are: α ∈ [ 0 , 1 ] , c j ( x )=( x − x 0 ) 1 − α h RL D α a + f i j ( x ) , ξ ∈ [ a , x ] . In (83), α 0 = 0 and the α k , ( k = 1 ,..., m ) are an increasing sequence of real numbers such that 0 < α k − α k − 1 and

A.4 Analytical Expressions of Some Fractional Derivatives

RL D α

function - f ( x ) , x > a

Fractional Derivative -

a + f ( x )

k ( x − a ) − α Γ ( 1 − α ) Γ ( β + 1 ) Γ ( β + 1 − α ) ( a ± p ) λ Γ ( 1 − α )

k

( x − a ) β , ℜ ( β ) > − 1 e λ x , λ̸ = 0 ( x ± p ) λ , a ± p > 0

( x − a ) β − α

e λ a ( x − a ) − α E

λ ( x − a ))= e λ a E 2 F 1 1 , − λ , 1 − α ;

α , λ )

x − a ( − a − x a ± p

1 , 1 − λ (

( x − a ) − α

2 F 1 β + 1 , − λ ; β − α ; 2 F 1 β + 1 , − λ ; β − α ;

a − x a ± p x − a p − a

Γ ( β + 1 ) Γ ( β + 1 − α ) Γ ( β + 1 ) Γ ( β + 1 − α ) Γ ( β + 1 ) e λ a Γ ( β + 1 − α ) ( x − a ) − α 2 i Γ ( 1 − α ) ( x − a ) − α 2 Γ ( 1 − α ) Γ ( β + 1 ) 2 i Γ ( β + 1 − α ) Γ ( β + 1 ) 2 Γ ( β + 1 − α ) Γ ( β + 1 ) Γ ( β + 1 − α )

( x − a ) β ( x ± p ) λ , ℜ ( β ) > − 1 ∧ a ± p > 0 ( x − a ) β ( p − x ) λ , p > x > a ∧ ℜ ( β ) > − 1

( a ± p ) λ ( x − a ) β − α ( p − a ) λ ( x − a ) β − α

( x − a ) β e λ x , ℜ ( β ) > − 1

( x − a ) β − α

1 F 1 ( β + 1 , β + 1 − α ; λ ( x − a ))

sin ( λ ( x − a )) cos ( λ ( x − a ))

[ 1 F 1 ( 1 , 1 − α ; i λ ( x − a )) − 1 F 1 ( 1 , 1 − α ; − i λ ( x − a ))] [ 1 F 1 ( 1 , 1 − α ; i λ ( x − a ))+ 1 F 1 ( 1 , 1 − α ; − i λ ( x − a ))] , [ 1 F 1 ( β , β − α ; i λ ( x − a )) − 1 F 1 ( β , β − α ; − i λ ( x − a ))] ( x − a ) β − α , [ 1 F 1 ( β , β − α ; i λ ( x − a ))+ 1 F 1 ( β , β − α ; − i λ ( x − a ))] ( x − a ) β − α ( x − a ) β − α [ ln ( x − a )+ ψ ( β + 1 ) − ψ ( β + 1 − α )]

( x − a ) β sin ( λ ( x − a )) , ℜ ( β ) > − 2 ( x − a ) β cos ( λ ( x − a )) , ℜ ( β ) > − 1 ( x − a ) β ln ( x − a ) , ℜ ( β ) > − 1

( x − a ) β − 1 E

µ ) , ℜ ( β ) > 0 ∧ ℜ ( µ ) > 0 ( x − a ) β − 1 − α E x − a ) µ ) TableA.2: Analytical Expressions of Some Fractional Derivatives. µ , β − α ((

µ , β (( x − a )

R Riemann-Liouville derivatives can be formulated restoring to generalised functions [9], in which case the following additional results can be established:

   0 ,

( x − max { a , p } ) − α Γ ( 1 − α )

, if x > p

RL D α

a + H ( x − p )=

(A.72)

if a ≤ x ≤ p .