Mathematical Physics Vol 1
Chapter A. Fractional Calculus: A Survey of Useful Formulas
462
L D β
L I α − β
L D β
α − β −
L I α
L I α −
+ f ( x )=
0 + f ( x ) and
f ( x )= L I
f ( x ) .
(A.60)
−
+
D m L I α
L I α − m +
m L I α −
α − m −
f ( x )=( − 1 ) k L I
f ( x ) , ℜ ( α ) > m .
+ f ( x )=
f ( x ) and D
(A.61)
D m L D α
L D α + m +
m L D α −
α + m −
f ( x )=( − 1 ) k L D
f ( x ) .
(A.62)
+ f ( x )=
f ( x ) and D
Integration by parts If ℜ ( α ) > 0, for suitable functions, we have the following properties b Z a f ( x ) RL I α a + g ( x ) d x = b Z a f ( x ) RL I α b − f ( x ) d x .
(A.63)
b Z a
b Z a
f ( x )
a + g ( x ) d x = + g ( x ) d x = + g ( x ) d x = + g ( x ) d x = + g ( x ) d x =
g ( x ) g ( x ) g ( x ) g ( x ) g ( x )
f ( x ) d x .
RL D α
RL D α
(A.64)
b −
∞ Z
∞ Z ∞ Z
f ( x )
f ( x ) d x .
L I α
L I α −
(A.65)
− ∞
− ∞
∞ Z
f ( x )
f ( x ) d x .
L D α
L D α −
(A.66)
− ∞
− ∞ 0 Z − ∞
0 Z − ∞
f ( x )
f ( x ) d x . f ( x ) d x .
L I α
L I α −
(A.67)
∞ Z 0
∞ Z 0
f ( x )
L D α
L D α −
(A.68)
b Z a
b Z a
f ( x )
a + g ( x ) d x =
g ( x )
f ( x ) d x + f ( x ) i .
C D α
C D α
b −
(A.69)
+ h f ( x )
a + g ( x ) i − h g ( x )
RL I α
RL I α
b −
Leibniz formula and derivative of the composition of two functions
∞ ∑ j = 0
j
h RL D α
a + ( fg ) i ( x )=
α
RL D α − j
j g )( x ) .
a + f ( x )( D
(A.70)
h RL D α
a + ( f ( g )) i ( x )= D j f ( g ) ( x ) ∑
( x − a ) − α Γ ( 1 − α )
f ( g ( x ))+
(A.71)
∞ ∑ j = 0
j
1 a r !
r !
a r
j ∑ i = 1
j ∏ r = 1
j ! ( x − a ) j − α Γ ( j + 1 − α )
( D r g )( x )
α
+
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