Precorsi di Matematica

CAPITOLO 4. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

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Esercizio 4.6. Risolvere le seguenti equazioni trigonometriche

2 cos x − sin x − 2 = 0; 1 √ 3 sin x cos x = 1 4 ;

2 cos x − sin x − 2 = 0; cos 2 x − sin x − 1 = 0 . Esercizio 4.7. Risolvere la seguente disequazione trigonometica: 3 sin x − √ 3 ≥ 0 . Per le propriet`a delle potenze, possiamo scrivere 3 sin x ≥ 3 1 passando agli argomenti abbiamo

2 , da cui

1 2

sin x ≥

.

L’angolo notevole per cui la funzione seno assume valore 1 2 `e π dal grafico della sinusoide l’altro punto in cui il seno assume valore 1 2 `e π − π 6 = 5 6 π . Limitando sempre la nostra attenzione all’intervallo di periodicit`a [0 , 2 π [, notiamo che il seno assume valori superiori a 1 2 solo nell’intervallo [ π 6 , 5 6 π ]. 6 . Come si evince

1 2

π 6

5 6 π

Quinidi considerando anche la periodicit`a, otteniamo la soluzione: π 6 + 2 kπ ≤ x ≤ 5 6 π + 2 kπ, k ∈ Z . Esercizio 4.8. Risolvere la seguente disequazione goniometrica:

2 sin x + 1 (2 + sin x ) 2

> 0 .

Bisogna studiare il segno di ogni fattore, ma possiamo ridurci allo studio del solo numeratore perch`e il denominatore `e sempre positivo. Da 2 sin x +1 > 0, otteniamo che sin x > − 1 2 . Verifichiamo facilmente che i due angoli in cui il seno assume valore − 1 2 sono π + π 6 = 7 6 π e 2 π − π 6 = 11 6 π . Limitando sempre la nostra attenzione all’intervallo di periodicit`a [0 , 2 π [, notiamo che il seno assume valori superiori a 1 2 negli intervalli [0 , 7 6 π [ ∪ ] 11 6 π, 2 π [.