Mathematical Physics - Volume II - Numerical Methods

4.2 Solution of Euler equations

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while the matrix A − is: ∂ f ∂ U − =

        

         .

− 2 c 2 + γ u 2 − γ 2 u 2 8 c γ

2 c − γ u + γ 2 u 4 c γ · · · · · · · · · · · · · · ·

1 − γ 4 c

· · · · · · · · · · · · · · · ( c − u ) u 2 c − γ u + γ 2 u 4 c γ

· · · · · · · · · · · · · · · ( 1 − γ ) ( − c + u ) 2 c · · · · · · · · · · · · · · ·

( − c + u ) 2 c − γ u + γ 2 u 2 c γ

· · · · · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · ·

c 3 4 ( − 1 + γ ) γ c 2 u 2 ( 1 − γ ) +

(4.111)

+

c 2 2 ( − 1 + γ )

=

+

− 3 c 4

+

3 c ( − 2 + γ ) u 4 γ 3 − 2 γ 2 u 2 4 γ 3 ( − 1 + γ ) u 3 8 c

+

+

+

γ u 2

3 c ( 3 − γ ) u 2 8 γ 2 + γ 2 u 3 4 γ 3 ( 1 − γ ) u 4 16 c

+

+

+

+

+

+ −

3 ( 1 − γ ) u 2 8 c

+

+

+

+

+

It is now possible to code an alternative computer program, based on Jacobi matri ces (4.110) and (4.111). When the flow field is entirely supersonic, the matrix A − vanishes, so there is no increase in the convergence rate compared to the method when decomposed flux matrices were used. In the presence of a sharp shock wave that separates the zones of subsonic and supersonic flow in the nozzle a significant increase in the rate of convergence is observed, which is shown in Figure 4.15, with almost unchanged pressure distribution along the nozzle axis.

3

3

600

x=0.00(m) x=1.14(m) x=2.78(m) x=4.61(m) x=5.45(m) x=7.22(m) x=8.34(m) x=10.0(m)

2.5

2.5

500

p/p 1 (Euler) ρ/ ρ 1 (Euler)

p/p 1 (ANSYS) ρ/ ρ 1 (ANSYS)

2

2

400

ρ ρ/ 1

p/p 1

1.5

1.5

300

V(m/s)

1

1

200

0.5

0.5

100

0

0

0

0

0.25

0.5 x/l

0.75

1

0

0.5

1

1.5

2

y(m)

Figure 4.16: Pressure and density distribu tion.

Figure 4.17: Velocity profiles.