Mathematical Physics - Volume II - Numerical Methods

Chapter 4. Finite volume method

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taking into account at the same time that the mentioned Jacobi matrices differ, ie.

−̸

+̸

∂ f ∂ U

∂ f ∂ U

= A + and A − =

A +

= A − .

(4.108)

=

“Decomposed” flux vectors f + and f − , present in equations (4.106) and (4.107), are deter mined by the expressions:

   

 

2 γ u + c − u 2 ( γ − 1 ) u 2 +( u + c ) 2

ρ 2 γ

f + =

and

( 3 − γ )( u + c ) c 2 ( γ − 1 )

( γ − 1 ) u 3 + 1

3 + 1 2

2 ( u + c )

(4.109)

  .

2 γ u − c ( u − c ) 2

ρ 2 γ

f − =

( 3 − γ )( u − c ) c 2 ( γ − 1 )

1 2 ( u − c )

3 + 1 2

It is useful to note that, in addition to the the flux vector decomposition approach, deter mined by the equations (4.109), alternative methods exist [47]. Jacobi flux matrices A + and A − , as derivatives of the flux vectors f + and f − , are determined by application MATHEMATICA ™ [53].

The Jacobi matrix A + thus becomes

+

∂ f ∂ U

=

         2 + + + +

         ,

2 c 2 − γ u 2 + γ 2 u 2 8 c γ · · · · · · · · · · · · · · · − 5 γ + γ 2 u 2 4 γ + ( − 1 + γ ) u 3 4 c − · · · · · · · · · · · · · · · 3 c ( − 3 + γ ) u 2 8 γ 2 − 4 γ + γ 2 u 3 4 γ 3 ( − 1 + γ ) u 4 16 c + + c 2 u 2 ( 1 − γ ) + cu 2 γ

− 2 c + 4 c γ + γ u − γ 2 u 4 c γ

1 + γ 4 c

−

· · · · · · · · · · · · · · · − 2 + 5 γ − γ 2 u 2 γ

· · · · · · · · · · · · · · ·

− 1 + γ 2

+

+

( − 1 + γ ) u 2 c

( 1 − γ ) u 2 2 c

c γ

+

+

+

(4.110)

· · · · · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · ·

=

c 3 4 ( 1 − γ ) γ

c 2 2 ( − 1 + γ )

+

+

3 c 4

+ γ u 2

3 c ( 2 − γ ) u 4 γ

+

+

+

+

+ −

3 + 6 γ − 2 γ 2 u 2 4 γ

3 ( − 1 + γ ) u 2 8 c

+

+

3 ( 1 − γ ) u 3 8 c

+