Issue 8

E. Sacco et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 8 (2009) 3-20; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.08.01

t si assume nota la soluzione, le quantità

Il processo di analisi viene infatti diviso in un numero finito di passi; all’istante n

t sono contraddistinte dal pedice , mentre le quantità al tempo attuale  1 n t n

non presentano alcun

valutate al tempo n

indice. Lo schema di integrazione adottato è il seguente: - si assume noto lo spostamento relativo di interfaccia s ;

- si determina il valore del parametro di danno D tramite le formule (14)-(18); - si valuta la tensione di prova della zona danneggiata attraverso l’espressione:      ( ) d el n τ K s c p

(19)

- si determina il valore della funzione limite    d el τ

utilizzando la formula (10).

- se    τ - se    τ

, 

 0 d el

 d d el τ τ ;

n p p e

 0 d el

lo spostamento inelastico deve essere aggiornato tramite le seguenti relazioni:

            0 d T el d T el

1





d

d



  





  



p p

(20)

n

N el

T el

K

T

- si determina la tensione all’interfaccia tramite l’Eq. (8). La procedura di integrazione descritta è implementata in un elemento finito interfaccia a quattro nodi, con due gradi di libertà per nodo, e spessore nullo. In definitiva, nel generico passo temporale finito, si tratta di risolvere il sistema algebrico non lineare scritto in forma residuale:

     ˆ; ˆ ˆ ˆ ˆ ; R Λ U U F 0 R Λ U U F 0          

(21)

dove i vettori  U e ˆ U rappresentano gli spostamenti nodali liberi incogniti e vincolati, rispettivamente, mentre  F e ˆ F sono le forze esterne assegnate e le reazioni vincolari incognite. Il problema algebrico non lineare è risolto sviluppando una procedura iterativa di tipo Newton-Raphson; alla k- esima iterazione, la soluzione si determina tramite le relazioni:         k t k k UU

 U K R F R K U          1 1 , 1 , ˆ ˆ k k t k

(22)



k

1

 UU ˆ

dove

 ˆ R U

  R U

 

 

, t k

, t k





K

K

  UU (23) La successione converge quando i residui  k R e ˆ k R tendono a zero. Si definisce errore alla k- esima iterazione, la quantità scalare:  UU ˆ k k

k

R R

k e



1 (24) La soluzione viene considerata soddisfacente quando accade che l’errore è più piccolo di una prefissata tolleranza,  k e tol . Il calcolo delle matrici tangenti   , t k UU K e  , ˆ t k UU K richiedono la determinazione della derivata consistente con l’algoritmo di integrazione nel tempo del legame  τ s . Si tratta allora di determinare la derivata   / τ s . Tenuto conto dell’Eq. (8) si ha:

8