Precorsi di Matematica

CAPITOLO 3. FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

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Esercizio 3.9. Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

3 x +1 + 3 x < 36 .

Per le propriet`a delle potenze, scriviamo:

3 · 3 x + 3 x < 36 , da cui 4 · 3 x < 36 e, dividendo per 4, otteniamo: 3 x < 9 .

Quindi 3 x < 3 2 e dunque la soluzione x < 2.

Esercizio 3.10. Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

4 5

5 2 x − 1 − 5 x +

> 0 .

Applicando le propriet`a dei logaritmi e ponendo z = 5 x , dobbiamo equi valentemente risolvere la seguente disequazione di secondo grado: t 2 − 5 t + 4 > 0 . Le soluzioni dell’equazione associata sono t = 1 e t = 4 e quindi otteniamo 5 x = 1 e 5 x = 4. Nel primo caso, da 5 x = 5 0 , otteniamo la soluzione x = 0, mentre nel secondo la soluzione x = log 5 4. Dunque la diseguaglianza `e soddisfatta per valori esterni: x < 0 ∪ x > log 5 4. Esercizio 3.11. Risolvere la seguente disequazione esponenziale: 27 x − 3 x +1 ≤ 0 . Per le propriet`a delle potenze, possiamo scrivere 3 3 x ≤ 3 x +1 , da cui 3 x ≤ x + 1 e dunque la soluzione x ≤ 1 2 .