Precorsi di Matematica

CAPITOLO 1. GEOMETRIA PIANA

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Esercizio 1.4. Date le rette r 1 : 3 x + y − 4 = 0 e r 2 : 4 x − y + 3 = 0 e il punto P (1 , 2) , determinare la retta passante per P e parallela ad r 1 , la retta passante per P perpendicolare ad r 2 , l’intersezione tra r 1 e r 2 . Il coefficiente angolare della retta r 1 `e m = − a b = − 3, il suo antireciproco `e dunque 1 3 e dunque imponendo il passaggio per il punto otteniamo:

1 3

y − 2 = ( x − 1) , quindi la retta passante per P e parallela ad r 1 `e y = − 1 3 x + 5 3 . Il coefficiente angolare della retta r 2 `e m = − a passaggio per il punto otteniamo:

b = 4, e dunque imponendo il

y − 2 = 4( x − 2) , quindi la retta passante per P e parallela ad r 2 ha equazione y = 4 x − 6. L’ intersezione tra r 1 ed r 2 si ottiene mettendo a sistema le due equazioni che le rappresentano: ( y = − 1 3 x + 5 3 14 11 ). Esercizio 1.5. Sia T il triangolo di vertici A = (1 , 2) , B = (1 , 4) e C = (3 , 6) e sia T 1 il triangolo ottenuto da esso mediante la traslazione ( X = x + 2 Y = y − 5 Calcolare perimetro e area dei due triangoli e verificare che sono uguali. Il perimetro di un triangolo `e la somma delle lunghezze dei tre lati e dunque basta calcolare le tre lunghezze dei segmenti AB , BC and CA tramite la formula della distanza tra due punti generici P 1 = ( x 1 , y 1 ) e P 2 = ( x 2 , y 2 ): d ( P 1 , P 2 ) = p ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 . Quindi otteniamo: y = 4 x − 6; ottenendo il punto R = ( 13 11 , −

a = d ( A, B ) = p (1 − 1) 2 + (4 − 2) 2 = 2; b = d ( B, C ) = p (3 − 1) 2 + (6 − 4) 2 = 2 √ 2; c = d ( C, A ) = p (1 − 3) 2 + (2 − 6) 2 = 2 √ 5 .