Mathematical Physics Vol 1

4.6 Examples

147

b)

A · ∇ φ = 2 yz i − x 2 y j + xz 2 k · ∂φ ∂ x i +

∂φ ∂ y k = = 2 yz i − x 2 y j + xz 2 k · 4 xyz 3 i + 2 x 2 z 3 j + 6 x 2 yz 2 k = = 8 xy 2 z 4 − 2 x 4 yz 3 + 6 x 3 yz 4 j + ∂φ ∂ z

The result is the same as the result under a). Thus, ( A · ∇ ) φ = A · ∇ φ , the same as in Example 74, on p.145. c) ( B · ∇ ) A = x 2 i + yz j − xy k · ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k A = = x 2 ∂ ∂ x + yz ∂ ∂ y − xy ∂ ∂ z A = = x 2 ∂ A ∂ x + yz ∂ A ∂ y − xy ∂ A ∂ z =

= x 2 − 2 xy j + z 2 k + yz 2 z i − x 2 yz j − xy ( 2 y i + 2 xz k )= = 2 yz 2 − 2 xy 2 i − 2 x 3 y + x 2 yz j + x 2 z 2 − 2 x 2 yz k .

d)

( A × ∇ ) φ = 2 yz i − x 2 y j + xz 2 k × ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z

k φ =

i k 2 yz − x 2 y xz 2 ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z j

φ =

=

= − x 2 y

∂ ∂ y

i + xz 2 + 2 yz i + xz 2 + 2 yz

∂ ∂ z

∂ ∂ z −

∂ ∂ x −

xz 2

j +

2 yz

∂ ∂ x

k φ =

∂ ∂ y

+ x 2 y

∂φ ∂ y

∂φ ∂ z

= − x 2 y

∂φ ∂ x −

∂φ ∂ z −

xz 2

j +

2 yz

∂φ ∂ x

∂φ ∂ y

+ x 2 y k = = − 6 x 4 y 2 z 2 + 2 x 3 z 5 i + 4 x 2 yz 5 − 12 x 2 y 2 z 3 j + + 4 x 2 yz 4 + 4 x 3 y 2 z 3 k .