Issue 7

M. Zappalorto et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 7 (2009) 29-56; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.07.03

sinh cos A2

cosh sinA2

+ξ η

ξ η

=τ

1

2

zx

2 cosh

2 cos

η −ξ cosh sinA2

(25)

sinh cos A2

−ξ η

ξ η

−=τ 2

1

zy

2 cosh

2 cos

η −ξ

Imponendo le seguenti condizioni al contorno:

sin A2

0 η − η

K

cA

,

0 A 0

= →=

τ

=

2

+ τ=→ net ,t *

A

= τ

1

η=η

zx

2

2 cos 1

max

1

0

a 1

2

a c 2

−

0 =ξ

0

ρ

le distribuzioni di tensione assumono la seguente forma:

K2

2 cosh sinh cos

ξ η

+ τ=τ *

net ,t

zx

2 cos

η −ξ

a 1

ρ

(26)

K2

2 cosh cosh sin

ξ η

+ τ=τ *

net ,t

zy

2 cos

η −ξ

a 1

ρ

La soluzione ottenuta, che risulta matematicamente esatta solo nel caso di taglio antiplanare uniforme, può tuttavia essere applicata anche ad alberi soggetti a torsione; è però necessario tenere in considerazione l’andamento decrescente lineare della tensione nominale nella sezione, semplicemente con l’aggiunta alle espressioni delle tensioni di un fattore correttivo:

K

2

cos

2 sinh

ξ η

+ τ=τ *

net ,t

⋅

(

)

zx

ξ η *

cosh cos

2 cosh

2 cos

η −ξ

a 1

0

ρ

(27)

K

cosh 2 sin 2

ξ η

+ τ=τ *

net ,t

⋅

(

) η −ξ

zy

ξ η *

cosh cos

2 cosh

2 cos

a 1

0

ρ

L’espressione del fattore teorico di concentrazione delle tensioni può, a questo punto, essere ottenuto con un’equazione di equilibrio sulla sezione netta:

∫

∫

(28)

xdA )x(

xdA

τ

τ =

A

A zy

che fornisce:

   2

     

1 a 1

+

+

ρ 4 3 K

(29)

=

net ,t

  

+

+

1 a 21

ρ

in accordo con Neuber [1]. Le Figure 7 e 8 mostrano un confronto tra i risultati analitici e quelli di alcune analisi agli elementi finiti condotte su alberi in cui la dimensione dell’intaglio è molto superiore rispetto al raggio netto dell’albero (intaglio “ deep ”); l’accordo appare molto soddisfacente.

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