Issue 29

F. Tornabene et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 29 (2014) 251-265; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.29.22





Constants definition:

3

2 12 1 , 

3

Eh

5 6 , k Gh Gh I

, h I

h

12

 

   









0

0

2

Membrane (Mem) or Poisson problem

Static analysis

Dynamic analysis

2        2 w w 2 2 x y   

2         2 W W 2 2 x y   

x a b  

y

2 

S

q

S

0 I W

sin sin

0

0

 







Boundary conditions: Clamped (CCCC)

  0,

 

  ,

  ,

  0,

 

  ,

  ,

w y

w x

w a y

w x b

W y

W x

W a y

W x b

0,

,0 0, 

0,

0

0,

,0 0, 

0,

0













Exact solutions

q

x

y





  ,

w x y

sin sin



2

2

n a             

m S b I

1 2

a b

2                      2 1 a 1 b

f



4

S



nm

0

Kirchhoff-Love (KL) thin plate problem

Static analysis

Dynamic analysis

4 2 0 W W W I W x x y y                    4 4 2 0 4 2 2 4

  

  

4

4 w w w   4

x a b  

y



q

2

sin sin

0

 

 



4

2 2 x y y

4

x



  

Boundary conditions: Completely Simply-Supported (SSSS)

2

2

W

W





2

2

w

w





  0,

  0,

  , y W a y  0,

  , a y

  0,

  0, y

  ,

  , a y

W y

0,

0,

0







w y

w a y

0,

0,

0,

0









2

2

x

x





2

2

x

x





2

2

w

w

2

2

W

W









  x

  ,

  , x b

 

 

  x

  ,

  , x b

w x

w x b

,0 0, 

,0 0, 

0,

0





W x

W x b

,0 0, 

,0 0, 

0,

0





2

2

y

y





2

2

y

y





Exact solutions

q

x

y





  ,

w x y

sin sin



2                         2 0 2 n a m b I

2

a b

2                      2 1 a 1 b

f

nm

6



Reissner-Mindlin (RM) thick plate problem

Static analysis

Dynamic analysis

2 2 w w                    2 2 2 2 2 x  x y x y     y  

x

y





2            2 W W x y

q

sin sin

0



2 

0 I W

0



 

 

a b

2   x

2

y

x  

y

   

y 

0 w       

1

1

x 



x 



2           2 2 x x y

2 W I x W I    

1

1





  

  



   

x 

x

x

0







        

    

     

 

2

2

x

y

x y

x w

2

2





 

2

2

2

x

y

x y

2

2





 







 

y

y

x

2

2

2

1

1





       



  

2

2





y 

y 



 

2

1

1



  





x 

2            y y

0







0

 



     

y 

2

2

2

y

x

x y

y

2

2





 







x y  Boundary conditions: Completely Simply-Supported (SSSS) y     

2

2

y

x

2

2







y 

  

  



x 

















  

  

x

y





0, , w y t

y t

y t

y t

0,

0, ,

0, ,

0,

0, ,

0











y 

  0,

  0, y

  0, y

  0, y    0, y

W y

0,

0







x

y





x

y







y 

  

  



x 



  

  

x



















  ,

  , a y

  , a y

  , a y    0, y

, , w a y t

, , a y t

, , a y t

, , a y t

0,

0,

0











y 

y

W a y

0,

0







x

y





x

y







y 

  

     

  



x 

y

x





















 

  x    x

  0, y

  0, y

W x

,0, w x t

,0, x t

y t

y t

,0 0,

,0 0,

0

0,

0,

0, ,

0, ,

0















x 



 

y

x





y

x





  

y

x







y 

  



x 

  ,

  , x b    0, x

  , x b

  , x b

















W x b

0,

0







, , w x b t

, , x b t

, , x b t

, , x b t

0,

0,

0









x 



 

y

x





y

x





Exact solutions

2 2 

2 2 

2 2 

2 2 

2 2 

2 2 

n

m

n

m

n

m

n m

n

m

1

1

1











 







s

s

s

s

,     s

s

,

,

,

,

   

 

 

   

 

   

11

12

13

22

23

33

2

2

2

2

2

2

a

b

a

b

a

b

a b

a

b

2

2

2

x

y





      , , , x y x y

w x y w 

sin sin

11

a b

    

0 0 0 W                               nm x nm y nm

11 12 s s s s s s s s s 12 22

I

0 0

    

    

    

11 12 s s s w q         13

    

13

0



nm x nm y nm

x

y





x         

2 

I

f

0

0



   

nm

x 

12 s s s s s s 22

0 0

cos sin

 

 

nm

nm

23

2

23

11

a b

2



       

I

0 0

x

y







13

23 33

13

23

33

2

y

sin cos

y 





11

a b

Table 4 : List of two dimensional static and dynamic exact solutions.

262