Issue 2

Anno I Numero 2 Ottobre 2007

Rivista Ufficiale del Gruppo Italiano Frattura Fondata nel 2007

ISSN 1971-8993

Frattura ed integrità strutturale

www.gruppofrattura.it

Frattura ed Integrità Strutturale, 2 (2007) Rivista Ufficiale del Gruppo Italiano Frattura; ISSN 1971-8993 Reg. Trib. Cassino n. 729/07 del 30/07/2007

SOMMARIO

Misure di tenacità a frattura su acciai utilizzando velocità di deformazione elevate E. Lucon ………………………………………………………………………………………… 2 Are the Paris’ law parameters dependent on each other? Al. Carpinteri, M. Paggi ………………………………………………………………………. 10 Applicazione della meccanica della frattura viscoelastica alla previsione della vita di tubi in polibutene L. Andena, M. Rink, R. Frassine …....................................................................... 17 L’applicazione della diffrattometria dei raggi X per l’analisi del cedimento dei componenti meccanici M. Guagliano …………………………………………………………………………………… 25

Direttore Responsabile : Francesco Iacoviello, Università di Cassino

Comitato Scientifico: Stefano Beretta, Politecnico di Milano Alberto Carpinteri, Politecnico di Torino Francesca Cosmi, Università di Trieste Goffredo De Portu, CNR - ISTEC Giuseppe Ferro, Politecnico di Torino Angelo Finelli, ENEA Centro Ricerche Faenza Donato Firrao, Politecnico di Torino Roberto Frassine, Politecnico di Milano Franco Furgiuele, Università della Calabria Giovanna Gabetta, ENI Ricerche Mario Guagliano, Politecnico di Milano Martino Labanti, Enea Centro Ricerche Faenza Giulio Mayer, Politecnico di Milano Andrea Pavan, Politecnico di Milano Marco Savoia, Università di Bologna Vincenzo Maria Sglavo, Università di Trento Segreteria rivista presso: Francesco Iacoviello Università di Cassino – Di.M.S.A.T. Via G. Di Biasio 43, 03043 Cassino (FR) Italia http://www.gruppofrattura.it iacoviello@unicas.it Roberto Roberti, Università di Brescia David Taylor, University of Dublin

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E. Lucon, Frattura ed Integrità Strutturale, 2 (2007) 2-9; DOI: 10.3211/IGF-ESIS.02.01b

Misure di tenacità a frattura su acciai utilizzando velocità di deformazione elevate

Enrico Lucon Institute of Nuclear Material Science, Centro di Studi Nucleari del Belgio, SCK•CEN, Boeretang 200, B-2400 Mol (Belgio), e-mail: elucon@sckcen.be RIASSUNTO. La conoscenza delle proprietà meccaniche di tipo dinamico per i materiali metallici è utile ogniqualvolta la sensibilità alla velocità di deformazione è di rilevanza per un acciaio, e qualora le condi- zioni reali di carico per una struttura (in caso di normale esercizio o di situazioni d'emergenza) siano diverse dal caso statico. Inoltre, in alcuni studi l'aumento della velocità di deformazione serve a simulare gli effetti di altri meccanismi di fragilizzazione quali l'invecchiamento termico ( thermal ageing ) o l'irraggiamento. La presente memoria fornisce una panoramica dell'esperienza maturata al Centro Nucleare Belga (SCK•CEN) nel campo delle misure di tenacità a frattura su acciai in condizioni di velocità di deformazione elevata, con particolare riguardo alle prove di resilienza strumentata su provini Charpy precriccati (PCVN). Dopo una breve dissertazione sui meccanismi fondamentali che aiutano a comprendere gli effetti della velo- cità di deformazione sulla tenacità degli acciai in regime fragile e duttile, vengono presentate le procedure sperimentali ed analitiche per misurare la tenacità a frattura con velocità di deformazione elevata, prendendo in considerazione da un lato le principali normative internazionali (ASTM e ISO) e dall'altro il lavoro di normazione attualmente in corso sotto il coordinamento di SCK•CEN: la revisione della norma ASTM E1921 (metodo della Master Curve per la misura della tenacità in regime di transizione duttile/fragile) e lo sviluppo di una nuova norma ISO sulle prove di tenacità dinamica con provini PCVN. Quest'ultimo docu- mento è presentato in maggior dettaglio, concentrando l'attenzione sulla determinazione della tenacità dina- mica in campo fragile con il metodo dell' Impact Response Curve e in campo duttile (curve di resistenza J-R) mediante l'uso di metodi mono- e multi-campione. In conclusione, vengono presentati alcuni esempi tratti dalla banca dati sviluppata da SCK•CEN per le misu- re di tenacità dinamica, prevalentemente su acciai da vessel di uso nucleare ( RPV steels ). ABSTRACT . The knowlegde of dynamic mechanical properties is useful in all cases where the strain rate sensitivity of metallic materials is an issue, and whenever the actual loading conditions for a structure (ei- ther in normal operation or under accidental circumstances) are different from static. Furthermore, in some investigations increasing the loading rate is used to simulate other embrittling mechanisms such as thermal aging or neutron exposure. This paper provides an overview of SCK•CEN experience on measuring fracture toughness of steels at ele- vated loading rates, with specific emphasis on instrumented impact tests on precracked Charpy (PCVN) specimens. After briefly dwelling on the basic mechanisms which explain loading rate effects on cleavage and ductile fracture toughness, the experimental and analytical procedures for measuring fracture toughness at elevated loading rates are addressed, both in terms of official ASTM and ISO test standards and considering stan- dardization efforts currently in progress under SCK•CEN coordination: revision of ASTM E1921 ( Master Curve methodology for measuring fracture toughness in the ductile-to-brittle transition region) and a future ISO standard on instrumented PCVN testing. This latter document is examined in more detail, focussing the attention on the dynamic evaluation of brittle fracture toughness (Impact Response Curve) and the determi- nation of crack resistance curves using multiple and single-specimen techniques. Finally, selected examples from SCK•CEN database of dynamic toughness measurements will be illustrated, mainly relevant to reactor pressure vessel (RPV) steels.

1 INTRODUZIONE In determinate circostanze, il tempo può diventare una variabile importante nelle problematiche relative allo stu- dio della meccanica della frattura. In condizioni di ve-

locità di deformazione 1 elevata, due fenomeni possono influenzare e complicare la valutazione della tenacità a frattura dinamica per un materiale metallico:

1 In questo lavoro, il termine "velocità di deformazione" è usato come sinonimo di "velocità di carico" o "velocità di caricamento" (traduzione letterale dell'in- glese " loading rate" ).

2

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sforzo di frattura (che dipende in maniera modesta dalla la velocità di deformazione o dalla temperatura). Tale in- cremento della temperatura di clivaggio corrisponde al fenomeno della fragilizzazione ( embrittement ), che può anche essere causato dall'irraggiamento neutronico. Quanto descritto è illustrato graficamente nella Fig. 2. Anche quando il comportamento dell'acciaio è di tipo duttile, un incremento della velocità di deformazione rende più difficoltoso il movimento delle dislocazioni e di conseguenza la deformazione plastica del materiale. In tali circostanze, i fenomeni tipici associati all'innesco e alla propagazione duttile di una cricca (nucleazione, cre- scita e coalescenza di vuoti) avvengono a livelli più ele- vati di lavoro speso, e quindi la tenacità del materiale aumenta.

• la variazione delle proprietà meccaniche in funzione della velocità di deformazione (nella maggior parte dei metalli, le proprietà tensili aumentano sensibil- mente quando la velocità di deformazione aumenta di alcuni ordini di grandezza); • effetti inerziali, che possono assumere grande impor- tanza quando la forza varia bruscamente o quando una cricca avanza rapidamente (parte del lavoro spe- so sul provino è convertita in energia cinetica). La velocità di deformazione di un materiale metallico vi- cino all'apice di una cricca è di solito misurata come

dK

•

I

=

K

dt

dove K I è il fattore di intensità delle sollecitazioni in mo- do I e t è la variabile tempo. Per velocità di deformazione fino a • K = 10 6 MPa √ m/s, generalmente entrambi gli ef- fetti sono significativi e devono essere presi in considera- zione nelle misure di tenacità a frattura.

Aumento della tenacità di innesco

I (MPa √ m)

Diminuzione tenacità in campo fragile

Aumento della temperatura di transizione

2 EFFETTI QUALITATIVI DI UN AUMENTO DELLA VELOCITA’ DI DEFORMAZIONE Qualitativamente, le conseguenze di un aumento della ve- locità di deformazione sulla tenacità a frattura di un ac- ciaio possono essere schematizzate nel modo seguente, in funzione del regime di frattura (fragi- le/transizione/duttile) nel quale il materiale si trova ad operare: • comportamento fragile ( lower shelf ): un aumento del- la velocità di deformazione provoca una diminuzione della tenacità a frattura ( K Id < K Ic ) 2 ; • comportamento parzialmente fragile e parzialmente duttile (regime di transizione): la temperatura di tran- sizione aumenta all'aumentare della velocità di de- formazione ( T o,d > T o,s ) 3 ; • comportamento duttile ( upper shelf ): una velocità di deformazione più elevata tende ad aumentare la resi- stenza del materiale all'innesco e alla propagazione duttile di una cricca ( J Id > J Ic ). In termini grafici, le conseguenze di un aumento della ve- locità di deformazione sull'intera curva della tenacità a frattura in funzione della temperatura per un acciaio ferri- tico possono essere rappresentate come in Fig. 1. In condizioni prevalentemente fragili, un aumento del- la velocità di deformazione rende più difficoltoso il mo- vimento delle dislocazioni all'interno del materiale, con conseguente aumento dello sforzo di snervamento (indu- rimento, o hardening ). Lo spostamento verso l'alto della curva di snervamento ha per effetto un aumento della temperatura alla quale si realizza la condizione di clivag- gio, che corrisponde all'intersezione con la curva dello

Tenacità K

Temperatura (°C)

Figura 1. Effetto qualitativo di un aumento della velocità di de- formazione sulla tenacità a frattura di un acciaio ferritico (cur- va blu: velocità quasi-statica; curva rossa: velocità dinamica).

Aumento sforzo di snervamento causato dalla maggior difficoltà di movimento delle dislocazioni

aumento velocità deform.

sforzo di frattura (modesta dipendenza da velocità di deformazione o temperatura)

aumento snervamento ( indurimento )

aumento temperatura clivaggio ( fragilizzazione ) Δσ y

sforzo

Δ T

condizioni di clivaggio

temperatura

Figura 2. Effetti di indurimento e fragilizzazione causati da un aumento della velocità di deformazione in un acciaio con com- portamento fragile.

3 MISURA SPERIMENTALE DELLA TENACITA’ A FRATTURA DINAMICA Nei paragrafi seguenti, si farà principalmente riferimento alle normative di prova già pubblicate o in via di pubbli- cazione da parte dell'ASTM ( American Society for Te- sting and Materials ) e dell'ISO ( International Standardi- sation Organization ).

2 Il pedice "d" indica un parametro "dinamico". 3 Il pedice "s" indica un parametro "statico".

3

E. Lucon., Frattura ed Integrità Strutturale, 2 (2007) 2-9

250

Lab #1 Lab #2 Lab #3 Lab #4 Lab #5 Lab #6 Lab #7 Lab #8 Master Curve complessiva

95%

200

MC

150

K Jc,1T (MPa √ m)

5% LB

100

50

0

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

Temperatura (°C)

Figura 3. Prove di tenacità dinamica su provini Charpy precriccati dell'acciaio da vessel JRQ (A533B Cl.1), analizzati mediante il metodo della Master Curve . Dati del round-robin del CRP-8 dell'IAEA [12].

3.1 Comportamento fragile (lower shelf) L'intervallo di velocità di deformazione per prove in con- dizioni quasi-statiche è definito come 0.55-2.75 MPa √ m/s nelle norme ASTM E399 [1] e E1820 [2] e come 0.55-3 MPa √ m/s nella norma ISO 12135 [3]. Il medesimo intervallo è prescritto anche dalla norma Bri- tish Standard BS 7448:3 [4]. In caso di velocità di deformazione più elevate, le norma- tive si limitano a raccomandare di determinare accurata- mente i valori di forza applicata e prescrivono un tempo totale di prova non inferiore a 1 ms. Inoltre, nei calcoli della tenacità a frattura si richiede l'uso di un valore di sforzo di snervamento corrispondente alla velocità di pro- va. È interessante osservare che entrambe le norme ASTM (E399 e E1820) escludono la possibilità di eseguire prove di impatto utilizzando masse cadenti, quindi prove di re- silienza Charpy o Pellini ( drop weight ). Inoltre, viene e- splicitamente affermato che " diminuzioni significative della tenacità possono essere osservate all'aumentare della velocità di deformazione ". 3.2 Comportamento misto fragile/duttile La norma ASTM E1921 [5], che descrive la ben nota me- todologia della Master Curve per la misura della tenacità a frattura di acciai ferritici in regime di transizione fragi- le/duttile, prevede che per una determinazione quasi- statica della temperatura di riferimento T o , la velocità di deformazione sia compresa tra 0.1 e 2 MPa √ m/s. Tale re- quisito consente di limitare a un massimo di 10 °C la va- riazione di T o per effetto della velocità di prova [6]. È consentito altresì eseguire la prova al di sotto del limite inferiore (0.1 MPa √ m/s), purchè gli effetti ambientali siano trascurabili o assenti.

La versione attuale della norma (2005) non prevede la possibilità di eseguire prove con velocità di deformazione più elevate; tuttavia, l'autore della presente memoria sta preparando una revisione della E1921 nella quale sarà consentito applicare velocità di prova superiori, sino a poter testare provini Charpy precriccati utilizzando un pendolo strumentato [7-10]. Esiste infatti una consistente base sperimentale che dimo- stra senza ombra di dubbio che il metodo della Master Curve è pienamente applicabile alle misure di tenacità di- namica eseguite su provini Charpy precriccati; un chiaro esempio è fornito dalla Fig. 3, che mostra i risultati di un round-robin (prova interlaboratorio) recentemente orga- nizzato nell'ambito del Coordinated Research Project Phase 8 (CRP-8) dell'IAEA ( International Atomic E- nergy Agency ) [11,12]. Nell'ambito del medesimo CRP-8, è attualmente in corso uno studio sulla sensibilità alla velocità di deformazione degli acciai ferritici [11]; lo studio si basa sulla raccolta ed analisi di valori della temperatura di riferimento T o ot- tenuti a diverse velocità di deformazione mediante la me- todologia della Master Curve . La Fig. 4 mostra i risultati di prove eseguite da SCK•CEN su tre acciai (due acciai da vessel – JSPS e JRQ - e un acciaio ferriti- co/martensitico – E97) variando la velocità di prova; le pendenze variabili delle curve di regressione in scala se- milogaritmica evidenziano la diversa sensibilità degli ac- ciai considerati. In assenza di misure sperimentali, una stima dell'incre- mento della temperatura di riferimento conseguente al- l'aumento della velocità di deformazione può essere otte- nuta dalla seguente correlazione empirica, proposta da Wallin [13]:

4

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l'uso della tecnica della Normalizzazione ( Normalization Data Reduction ), descritta nell'Annex A15. Da notare che nella norma E1820 si afferma esplicita- mente che " la curva J-R e la tenacità critica J Ic (t) aumen- tano al crescere della velocità di prova ". 4 LA FUTURA NORMA ISO SULLE PROVE DI TENACITA’ DINAMICA UTILIZANDO PROVINI CHARPY PRECRICCATI In ambito ISO e con il coordinamento di SCK•CEN, una normativa di prova è attualmente in preparazione per pro- ve di tenacità dinamica su provini Charpy precriccati te- stati mediante un pendolo strumentato [14]. Tale norma è quasi interamente basata sull'ultima versione della proce- dura di prova scritta dal Comitato Tecnico TC5 dell'ESIS ( European Structural Integrity Society ) [15]. La norma tratta tutti e tre i regimi di comportamento a frattura (fragile / transizione / duttile), identificando il diagramma forza/tempo in base a quattro tipologie (Fig. 5): • essenzialmente lineare elastico (tipo I); • frattura fragile per clivaggio senza crescita duttile si- gnificativa ( Δ a ≤ 0.2 mm) (tipo II); • frattura fragile per clivaggio con crescita duttile si- gnificativa (0.2 mm < Δ a ≤ 1.6 mm) (tipo III); • frattura fragile per clivaggio con Δ a > 1.6 mm o pro- pagazione duttile in assenza di clivaggio (tipo IV). 4.1 Provini Rispetto alle prove di tipo quasi-statico, la lunghezza mi- nima ammessa della precriccatura di fatica è ridotta da

⋅ Γ

T

• ⎛ ⎞ Γ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , log o s K

=

T

(1)

, o d

dove la funzione Γ è data da:

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

1.09

1.66

σ

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

T

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

, 722 ys Tos

, o s

(2)

9.9exp

Γ =

+ ⎜

190

con σ ys,Tos = limite di snervamento alla temperatura T o,s (temperatura di riferimento corrispondente a velocità di deformazione quasi-statiche). La correlazione (1) è stata sviluppata su 59 acciai, per velocità di prova comprese tra 10 -1 e 10 6 MPa √ m/s, limiti di snervamento tra 200 e 1000 MPa e valori T o,s tra -180 e 0 °C. 3.3 Comportamento duttile (upper shelf) All'interno della norma ASTM E1820 [2], e più precisa- mente nell'Annex A14, vengono fornite indicazioni per l'esecuzione di prove con elevata velocità di deformazio- ne. Affinché la prova sia analizzabile, si richiede che la parte iniziale del grafico forza/spostamento sia sufficientemen- te ben definita e che la durata della prova non sia inferio- re a un valore minimo t w che dipende dalla rigidità del provino e dalla massa totale del sistema di prova. Nel ca- so che la prova duri meno di t w , le equazioni per il calcolo dell'integrale-J sono da considerarsi inaccurate. Nel caso si debba determinare la curva di resistenza alla propagazione duttile ( J-R curve ), la norma raccomanda

40

ASTM E1921-05

JSPS

20

0

JRQ

-20

E97

-40

T o (°C)

-60

-80

PROVE DI IMPATTO (1-1.5 m/s)

-100

-120

1.E-02

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 dK/dt (MPa √ m/s)

1.E-01

1.E+00

Figura 4 – Influenza della velocità di prova sulla temperatura di riferimento per due acciai da vessel (JSPS, JRQ) e un ac- ciaio ferritico/martensitico (E97). Prove eseguite da SCK•CEN nell'ambito del CRP-8 dell'IAEA [11].

5

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Figura 5. Possibili tipologie del diagramma forza/tempo per una prova di tenacità dinamica su provino Charpy precriccato.

0.45 W a 0.3 W , con W = larghezza del provino (10 mm). L'applicazione di scanalature laterali ( side-grooves ) è ammessa ed anzi raccomandata nel caso si voglia deter- minare la curva J-R . 4.2 Macchine di prova Svariate tipologie di macchine di prova sono ammesse nella futura norma, benché l'attrezzatura consigliata sia un pendolo strumentato con angolo di caduta – e quindi velocità d'impatto – variabile. E' comunque consentito l'uso di macchine a massa cadente ( drop-weight ), mac- chine di prova di tipo servoidraulico, pendoli speciali con appoggi mobili e provino fisso ecc. Il percussore ( striker ) strumentato può essere conforme alla geometria prevista sia dalla norma ISO 148-2 (raggio del coltello: 2 mm) sia dalla norma ASTM E23 (raggio del coltello: 8 mm). 4.3 Velocità d'impatto Qualsiasi velocità d'impatto è consentita, fino a valori dell'ordine di 5 m/s o superiori. Nel caso di un pendolo Charpy, la velocità di prova può essere ridotta sino a cir- ca 1 m/s. In caso di comportamento fragile, se la velocità è tale che il tempo di frattura è inferiore a 5 volte il periodo di o- scillazione naturale del sistema provino/macchina ( t f < 5 τ ), la tenacità a frattura non può essere calcolata a parti-

re dal grafico forza/spostamento della prova; in tal caso, deve utilizzarsi il metodo dinamico di calcolo della tena- cità dinamica dell' Impact Response Curve , descritto nella sezione successiva. 4.4 Metodo dinamico di calcolo della tenacità dinamica in regime di clivaggio Il metodo detto Impact Response Curve ( Curva di Rispo- sta all'Impatto) [16], prevede la determinazione della te- nacità dinamica K Id a partire dal tempo a frattura t f , utiliz- zando una curva universale che è rappresentata dalla funzione (3) in cui: R è funzione della cedevolezza della macchina di prova, v o è la velocità d'impatto e t" è tabulato in funzione di t f . Per l'individuazione del tempo di frattura t f , nell'ipotesi t f < 5 τ , si raccomanda di strumentare il provino con un e- stensimetro ( strain gage ) applicato in prossimità dell'api- ce della cricca (Fig. 6); una brusca diminuzione del se- gnale elettrico dell'estensimetro consente di individuare l'istante della frattura [17]. In alternativa, è possibile esa- minare la variazione nel tempo di altri segnali, ad es. un segnale magnetico o la caduta di potenziale attraverso il provino percorso da corrente ( Potential Drop ). = " Id o K Rv t

6

E. Lucon, Frattura ed Integrità Strutturale, 2(2007) 2-9

Figura 6. Esempi di metodi per l'individuazione del tempo di frattura in caso di frattura fragile.

Tenacità dinamica normalizzata, K Jc,1T (MPa √ m)

Temperatura di riferimento normalizzata, T – T o (°C)

Figura 7. Banca dati SCK•CEN costituita da misure di tenacità dinamica su provini PCVN di acciai da vessel (cerchi) e ferriti- ci/martensitici (triangoli). Le prove, eseguite in regime di transizione fragile duttile, sono state analizzate mediante il metodo della Master Curve (rappresentata nella figura insieme a diversi livelli statistici di probabilità di frattura).

4.5 Metodi per la misura della tenacità dinamica in re- gime duttile L'approccio consigliato per determinare la curva J-R in condizioni dinamiche prevede l'uso di una metodologia di

tipo multi-provino; la futura norma ISO cita i seguenti metodi di prova: • Low-blow test : la velocità d'impatto viene variata da una prova all'altra in modo da ottenere quantità va- riabili di crescita duttile Δ a ; l'energia potenziale deve

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Figura 8. Misure di resistenza alla frattura duttile, ottenute per due acciai da vessel con velocità di deformazione quasi-statiche (curve blu) e dinamiche (curve rosse).

essere sufficiente a far propagare la cricca, senza tut- tavia provocare la rottura completa del provino. • Stop block test : valori differenti di crescita duttile tra un provino e l'altro vengono ottenuti variando la po- sizione d'arresto del martello, anche in questo caso evitando di rompere completamente il provino. Il me- todo è tuttavia sconsigliato per macchine di prova standard, in quanto esiste il rischio di danneggiare la cella di carico. • Cleavage R-curve method : le prove sono eseguite in regime di transizione fragile/duttile, facendo variare la temperatura di prova in modo da ottenere valori Δ a variabili. Le differenze tra le temperature di prova vengono ignorate [18]. In aggiunta, sono anche disponibili metodologie mono- provino, quali il metodo della Key Curve [19], l'approccio analitico a 3 parametri di Schindler [20] e la già citata tecnica della Normalizzazione descritta nella norma

ASTM E1820. Un recente studio eseguito da SCK•CEN ha evidenziato un buon accordo tra metodi multi- e mo- no-provino per alcuni tipici acciai da vessel [21].

5 ESEMPI DI MISURE DI TENACITÀ DINAMICA TRATTI DALLA BANCA DATI DI SCK•CEN Per concludere, vengono presentati alcuni risultati di pro- ve di tenacità dinamica eseguite da SCK•CEN su provini Charpy precriccati, provenienti in prevalenza da acciai da vessel per uso nucleare. La Fig. 7 mostra la nostra banca dati costituita da 113 prove condotte in regime di transi- zione fragile/duttile su 7 acciai in 11 diverse condizioni (per alcuni acciai, sono presenti misure su materiale sia non irraggiato che irraggiato).

8

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I valori di tenacità dinamica (normalizzati allo spessore di riferimento – 1 pollice) sono rappresentati in funzione della differenza tra la temperatura di prova e la tempera- tura di riferimento T o calcolata per il relativo materiale; questo tipo di rappresentazione consente di riunire sullo stesso grafico materiali diversi tra loro. La Fig. 7 costitui- sce un'ulteriore dimostrazione che il metodo della Master Curve è perfettamente applicabile a misure di tenacità di- namica su provini PCVN. Esempi di misure dinamiche di resistenza alla frattura duttile, ottenute mediante la metodologia Low Blow Test precedentemente descritta, sono mostrati per due tipici acciai da vessel nella Fig. 8, dove le curve dinamiche (in rosso) sono confrontate alle curve J-R ottenute in condi- zioni quasi-statiche (in blu) alle stesse temperature di prova. La Fig. 8 consente di apprezzare chiaramente l'in- cremento della resistenza alla frattura duttile, conseguen- te ad un aumento della velocità di deformazione. 6 BIBLIOGRAFIA [1] ASTM E399-05, Standard Test Method for Linear- Elastic Plane-Strain Fracture Toughness K Ic of Metallic Materials, Annual Book of ASTM Standards 2006, Vol. 03.01. [2] ASTM E1820-05a, Standard Test Method for Meas- urement of Fracture Toughness, Annual Book of ASTM Standards 2006, Vol. 03.01. [3] ISO 12135:2002, Metallic materials -- Unified method of test for the determination of quasistatic frac- ture toughness. [4] BS 7448-3:2005, Method for determination of frac- ture toughness of metallic materials at rates of increase in stress intensity factor greater than 3.0 MPa √ m/s, British Standards Institution. [5] ASTM E1921-05, Standard Test Method for Deter- mination of Reference Temperature, T o , for Ferritic Steels in the Transition Range, Annual Book of ASTM Stan- dards 2006, Vol. 03.01. [6] J.B. Hall e K.K. Yoon, Quasi-Static Loading Rate Effect on the Master Curve Reference Temperature of Ferritic Steels and Implications, Proceedings of the 2003 ASME Pressure Vessels and Piping Conference (Cleve- land, OH, 28-31 luglio 2003). [7] T.J. Koppenaal, Dynamic Fracture Toughness Meas- urements of High-Strength Steels Using Precracked Charpy Specimens, ASTM STP 563, 1974, pp. 92-117. [8] K.R. Iyer and R.B. Miclot, Instrumented Charpy Testing for Determination of the J-Integral, ASTM STP 563, 1974, pp. 146-165. [9] HTGR Fracture Toughness Program, EPRI NP-120, Project 337-1, Final Report, aprile 1976. [10] Proceedings of C.S.N.I. Specialist Meeting on In- strumented Precracked Charpy Testing, EPRI NP-2102- LD, Palo Alto, California, 1-3 dicembre 1980. [11] H.-W. Viehrig e E. Lucon, IAEA Coordinated Re- search Project on Master Curve Approach to Monitor

Fracture Toughness of RPV Steels: Effect of Loading Rate, Proceedings of PVP2007, ASME Pressure Vessels and Piping Division Conference, 22-26 luglio 2007, San Antonio, Texas. [12] E. Lucon e H.W. Viehrig, Round-Robin Exercise on Instrumented Impact Testing of Precracked Charpy Specimens (IAEA Coordinated Research Program Phase 8), Proceedings of PVP2007, ASME Pressure Vessels and Piping Division Conference, 22-26 luglio 2007, San Antonio, Texas. [13] K. Wallin, Effect of Strain Rate on the Fracture Toughness Reference Temperature T o for Ferritic Steels, in: Recent Advances in Fracture (ed. R.K. Mahidhara et al.; The Minerals, Metals & Materials Society, 1997). [14] ISO TC 164/SC4 N465.3, Steel - Measurement of fracture toughness at impact loading rates using pre- cracked Charpy V-notch test pieces, ultima revisione: 27 ottobre 2006. [15] ESIS TC5, Proposed standard methods for instru- mented pre-cracked Charpy impact testing of steels and other metallic materials, Draft 25.4: dicembre 2005. [16] J.F. Kalthoff, S. Winkler and W. Böhme, A Novel Provedure for Measuring the Impact Fracture Toughness K Id with Precracked Charpy Specimens, Journal de Phy- sique, Colloque C5, supplement au n°8, Tome 46, agosto 1985, pp 179-186. [17] H. J. MacGillivray e D. F. Cannon, The Develop- ment of Standard Methods for Determining the Dynamic Fracture Toughness of Metallic Materials, ASTM STP 1130, 1992, pp. 161-179. [18] W. Böhme, Experience with Instrumented Charpy Tests obtained by a DVM Round Robin and further De- velopments, ESIS 20, Ed. E. van Valle, MEP Publica- tions, London, 1996, pp. 1-23. [19] J.A. Joyce, Static and dynamic J-R curve testing of A533B steel using the Key-curve analysis technique, ASTM STP 791, 1983, pp. I-543-I560. [20] H.J. Schindler, Estimation of fracture toughness from Charpy tests – theoretical relations, ASTM STP 1380, 1999, 340ff. [21] E. Lucon, The Use of Single-Specimen Techniques for Measuring Upper Shelf Toughness Properties under Impact Loading Rates, rapporto BLG-1016, SCK•CEN, settembre 2005.

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Al. Carpinteri et al., Frattura ed Integrità Strutturale, 2 (2007) 10-16; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.02.02

Are the Paris’ law parameters dependent on each other?

Alberto Carpinteri, Marco Paggi Politecnico di Torino, Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Corso Duca degli Abruzzi 24, 10129 Torino, Italy RIASSUNTO. Nel presente articolo si riesamina la questione relativa all’esistenza di una correlazione tra i parametri C ed m della legge di Paris. In base all’analisi dimensionale ed ai concetti di autosomiglianza in- completa applicati alla fase lineare della propagazione della frattura per fatica, si propone una rappresenta- zione asintotica che mette in relazione il parametro C ad m ed alle altre variabili che governano il fenomeno in oggetto. Gli esponenti della correlazione vengono poi determinati in base alla condizione che l’instabilità alla Griffith-Irwin debba coincidere con l’instabilità alla Paris nel punto di transizione tra la propagazione sub-critica e quella critica. Si riscontra infine un ottimo accordo tra la correlazione proposta e l’evidenza sperimentale relativamente alle leghe di alluminio, titanio ed acciaio. ABSTRACT . The question about the existence of a correlation between the parameters C and m of the Paris’ law is re-examined in this paper. According to dimensional analysis and incomplete self-similarity concepts applied to the linear range of fatigue crack growth, a power-law asymptotic representation relating the parameter C to m and to the governing variables of the fatigue phenomenon is derived. Then, from the observation that the Griffith-Irwin instability must coincide with the Paris’ instability at the onset of rapid crack growth, the exponents entering this correlation are determined. A fair good agreement is found be- tween the proposed correlation and the experimental data concerning Aluminium, Titanium and steel alloys. KEYWORDS. Fatigue crack growth, Paris’ law parameters, Correlation, Dimensional analysis, Griffith- Irwin instability.

1 INTRODUCTION Fatigue crack growth data for ductile materials are usu- ally presented in terms of the crack growth rate, d a /d N , and the stress-intensity factor range, ( ) max min K K K Δ = − . At present, it is a common practice to describe the proc- ess of fatigue crack growth by a logarithmic d / d a N vs. K Δ diagram (see e.g. Fig. 1). Three regions are generally recognized on this diagram for a wide collection of experimental results [1]. The first region corresponds to stress-intensity factor ranges near a lower threshold value, th K Δ , below which no crack propagation takes place. This region of the diagram is usually referred to as Region I , or the near-threshold re- gion [2]. The second linear portion of the diagram defines a power-law relationship between the crack growth rate and the stress-intensity factor range and is usually re- ferred to as Region II [3]. Finally, when max K tends to the critical stress-intensity factor, IC K , rapid crack propagation takes place and crack growth instability oc- curs ( Region III ) [4]. In Region II the Paris’ equation [5,6] provides a good approximation to the majority of experimental data: d ( ) d m a C K N = Δ (1) where C and m are empirical constants usually referred to as Paris’ law parameters.

From the early 60’s, research studies have been focused on the nature of the Paris’ law parameters, demonstrating that C and m cannot be considered as material constants. In fact, they depend on the testing conditions, such as the loading ratio min max min max / / R K K σ σ = = [7], on the ge- ometry and size of the specimen [8, 9] and, as pointed out very recently, on the initial crack length [10]. However, an important question regarding the Paris’ law parameters still remains to be answered: are C and m independent of each other or is it possible to find a correlation between them based on theoretical considerations? Concerning this point, it is important to take note of the controversy in the literature about the existence of a correlation be- tween C and m . For instance, Cortie [11] stated that the correlation is formal with a little physical relevance, and the high coefficient of correlation between C and m is due to the logarithmic data representation. Similar argu- ments were proposed in [12], where a correlation-free representation was presented. On the other hand, a very consistent empirical relationship between the Paris’ law parameters was found by several Authors [13, 14] and supported by experimental results [3, 13, 15–18]. In this paper, the correlation existing between the Paris’ law parameters is derived on the basis of theoretical ar- guments. To this aim, both self-similarity concepts [9] and the condition that the Paris’ law instability corre- sponds to the Griffith-Irwin instability at the onset of rapid crack growth are profitably used. Comparing the functional expressions derived according to these two in-

10

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Figure 1. Scheme of the typical fatigue crack propagation curve

Variable

Definition

Symbol

Dimensions

FL –2 FL –3/2

q q q

Tensile yield stress of the material Material fracture toughness Frequency of the loading cycle

σ y

1

K IC

2

T –1

ω

3

FL –3/2

Δ K = K max

- K min

s

Stress-intensity range

1

D

s s s

Characteristic structural size Characteristic internal length

L L L

2

h

3

a 0

Initial crack length

4

max K K R = min

r

Loading ratio

–

1

Table 1. Main variables governing the fatigue crack growth phenomenon.

can be represented in terms of a product of powers of the dimensions of the remaining quantities. Parameters i s are such that their dimensions can be expressed as products of powers of the dimensions of the parameters i q . Fi- nally, parameters i r are nondimensional quantities. As regards the phenomenon of fatigue crack growth, it is possible to consider the following functional dependence:

dependent approaches, a relation between the Paris’ law parameters C and m is proposed. As a result, it is shown that only one macroscopic parameter is needed for the characterization of damage during fatigue crack growth. 2 CORRELATION DERIVED ACCORDING TO SELF-SIMILARITY CONCEPTS According to dimensional analysis, the physical phe- nomenon under observation can be regarded as a black box connecting the external variables (called input or governing parameters) with the mechanical response (output parameters). In case of fatigue crack growth in Region II, we assume that the mechanical response of the system is fully represented by the crack growth rate, 0 =d / d q a N , which is the parameter to be determined. This output parameter is a function of a number of variables: ( ) 0 1 2 1 2 1 2 , , , ; , , , ; , , , , n m k q F q q q s s s r r r = K K K (2) where i q are quantities with independent physical dimen- sions, i.e. none of these quantities has a dimension that

( y a F K K D h a R N σ ϖ = Δ − IC 0 , , ; , , , ;1 , )

d

(3)

d

where the governing variables are summarized in Tab. 1, along with their physical dimensions expressed in the Length-Force-Time class (LFT). From this list it is possi- ble to distinguish between three main categories of pa- rameters. The first category regards the material parame- ters, such as the yield stress, y σ , and the fracture toughness, IC K . The second category comprises the vari- ables governing the testing conditions, such as the stress- intensity factor range, K Δ , the loading ratio, R , and the frequency of the loading cycle, ω . Concerning environ- mental conditions and chemical phenomena, they are not considered as primary variables in this formulation and

11

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when increasing the parameter R [28]. Therefore, assum- ing again an incomplete self-similarity in 5 Π , we have:

their influence on fatigue crack growth can be taken into account as a degradation of the material properties. Fi- nally, the last category includes geometric parameters re- lated to the material microstructure, such as the internal characteristic length, h , and to the tested geometry, such as the characteristic structural size, D , and the initial crack length, a 0 . Considering a state with no explicit time dependence, it is possible to apply the Buckingham’s Π Theorem [19] to reduce by n the number of parameters involved in the problem (see e.g. [8, 20–26] for some relevant applica- tions of this method in Solid Mechanics). As a result, we have:

a N

d

=

d

2

β

1 K K R K K β β σ σ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 IC y IC 2 2 (1 ) (1 )

(6)

(

)

β

2 − Φ Π Π Π = 2 2 3 4 , ,

=

(

)

(

)

2 R K − Δ Φ Π Π Π 1 β 2 2 3 4 , ,

.

=

IC

y

Comparing Eq. (6) with the expression of the Paris’ law, we find that our proposed formulation encompasses Eq. (1) as a limit case when:

2

IC K a K D h a R K K K K σ σ σ σ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ Δ ⎜ ⎟ ⎟ y 2 2 2 0 2 2 2 IC IC IC IC , , , ;1 y y y

d

( m C K β = = 1 ,

N

d

)

(7)

(

)

m σ − −

2 R β − Φ Π Π Π 2 2 3 4 , ,

2

2

(1 )

.

IC y

As a consequence, from Eq. (7) it is possible to notice that the parameter C is dependent on two material pa- rameters, such as the fracture toughness, IC K , and the yield stress, y σ , as well as on the loading ratio, R , and on the nondimensional parameters 2 Π , 3 Π , and 4 Π . More- over, Eq. (7) demonstrates, from the theoretical stand- point, the existence of a relationship between the parame- ters C and m . 3 CORRELATION DERIVED ACCORDING TO THE CRACK GROWTH INSTABILITY CONDITION In this Section we derive a correlation between the Paris’ law parameters similar to that in Eq. (7) on the basis of the condition of crack growth instability. In fact, as firstly pointed out by Forman et al. [4], the crack propagation rate, d / d a N , is not only a function of the stress-intensity factor range, K Δ , but also on the condition of instability of the crack growth when the maximum stress-intensity factor approaches its critical value for the material. Focusing our attention on this dependence, Forman et al. [4] observed that the crack propagation rate must tend to infinity when max IC K K → , i.e. (8) This rapid increase in the crack propagation rate is then responsible for the fast deviation from the linear part of the Region II in the fatigue plot (see e.g. Fig. 1). Consid- ering the transition point labeled CR in Fig. 1 between Region II and Region III, the following relationship be- tween the crack growth rate and the stress-intensity factor range can be derived according to the Paris’ law: (9) max IC d lim d K K a N → = ∞ d m a v C K N ⎛ ⎞ = = Δ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) CR CR d

= Φ

− =

(4)

( ⎜ ⎝

⎠

)

1 2 3 4 5 = Φ Π Π Π Π Π , , , ,

.

At this point, we want to see if the number of the quanti- ties involved in the relationship (4) can be reduced fur- ther from five. Considering the nondimensional parame- ter IC / K K Δ , it has to be noticed that this is usually small in the Region II of fatigue crack growth. However, since it is well-known that the fatigue crack growth phenome- non is strongly dependent on this variable (see e.g. the Paris’ law in Eq. (1)), a complete self-similarity in this parameter cannot be accepted. Hence, assuming an in- complete self-similarity in 1 Π , we have:

2

1 β

( IC σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Δ = Φ Π Π Π Π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 3 4 5 y IC , , , K a K K

d

)

,

(5)

N

d

and, consequently, the nondimen-

where the exponent β 1

sional parameter 1 Φ , cannot be determined from consid- erations of dimensional analysis alone. Moreover, the ex- ponent β 1 may depend on the nondimensional parameters i Π . It has to be noticed that 2 Π takes into account the ef- fect of the specimen size and it corresponds to the square of the nondimensional number Z defined in [8], and to the inverse of the square of the brittleness number s in- troduced in [20, 21, 27]. Moreover, the parameter 4 Π is responsible for the dependence of the fatigue phenome- non on the initial crack length, as recently pointed out in [10]. Repeating this reasoning for the parameter (1 ) R − , which is a small number comprised between zero and unity, a complete self-similarity in 5 Π would imply that fatigue crack growth is independent of the loading ratio. How- ever, this behavior is in contrast with some experimental results indicating an increase in the response d / d a N

CR

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Taking the logarithm of both sides of the theoretically based relationship between C and m in Eq. (11), we o- btain (15) 1 log log log C v m ⎡ ⎤ = + ⎢

where denotes the value of the stress-intensity fac- tor range at the point CR. Due to the fact that a rapid variation in the crack propagation rate takes place when the onset of crack instability is reached, it is a reasonable assumption to consider CR max IC K K ≅ . As a consequence, it is possible to correlate the value of CR K Δ with the mate- rial fracture toughness: (10) Hence, introducing Eq. (10) into Eq. (9), an approximate relationship between the Paris’ constants is derived ac- cording to the condition that the onset of the Paris’ insta- bility corresponds to the Griffith-Irwin instability: CR IC (1 ) K R K Δ = − CR K Δ

⎥ ⎦

CR

R K

(1 ) − ⎣

IC

which corresponds to Eq. (14) if

A v B = =

,

CR

1 .

(16)

R K

(1 ) −

IC

In order to check the validity of the proposed correlation derived according to the instability condition of the crack growth, an experimental assessment is performed by comparing the experimentally determined values of B with those theoretically predicted according to Eq. (16). Concerning steels and Aluminium alloys, Radhakrishnan [13] collected a number of data from various sources and proposed the following least square fit relationships ( K Δ being in MPa√m and d a /d N in m/cycle):

m

⎡

⎤ ⎥ ⎦

1 (1 ) − ⎣

C v

CR ≅ ⎢

(11)

R K

IC

and

IC K enter-

Moreover, as regards the parameters CR v

ing Eq. (11), it has to be remarked that they are almost constant for each class of material. The dependence on the loading ratio is also put into evidence in Eq. (11). A closer comparison between Eq. (11) and Eq. (7) per- mits to clarify the role played by CR v . In fact, Eq. (11) corresponds to the correlation derived according to self- similarity concepts when:

7 log log(7.6 10 ) C − = × +

2 log(1.81 10 ) for steels, log(4.26 10 ) for Al alloys. − − × × 2

m

(17)

6 log log(2.5 10 ) C − = × +

m

m

( = = − ⎛ ⎞ = Φ Π Π Π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 K v β β σ 2 2 IC 2 2 3 4 y , , ,

In order to compare the prediction of our proposed corre- lation with the experimentally determined values of B , parameters m and K IC have to be known in advance. However, only in a few studies both the values of the fa- tigue parameters and of the fracture toughness are ex- perimentally determined and reported. Therefore, to avoid experimental tests, the values of the material frac- ture toughness are taken from selected handbooks. Concerning steels, we assume A = CR v = 7.6x10 -7 m/cycle, as experimentally determined by Radhakrish- nan, 0 R = , and we try to estimate the parameter B on the basis of the values of the fracture toughness proposed in the ASM handbook [30]. This book provides a collection of values in a diagram K IC vs. both the prior austenite grain size, and the temperature test. Over a large range of temperatures ( T from –269°C to 27°C) and grain sizes ( d from 1 μ m to 16 μ m), IC K varies from 20 MPa√m to 100 MPa√m with an average value of IC 60 K = MPa√m. The comparison can also be extended to Aluminium alloys. According to the same procedure discussed above, the es- timated average value of the critical stress-intensity factor from handbooks [30–33] is equal to IC 35 K = MPa√m with minimum and maximum values equal to 15 MPa√m and 49 MPa√m, respectively. Using the average values we find:

(12)

)

,

CR

confirming the experimental observation reported in [3] that CR v should depend on the material properties, on the geometry of the tested specimen, and on the material mi- crostructure. Therefore, considering the same testing conditions, this conventional crack growth rate is almost constant for each class of material and Eq. (11) estab- lishes a one-to-one correspondence between the C and m values. 4 EXPERIMENTAL ASSESSMENT OF THE PROPOSED CORRELATION: ALUMINIUM, TITANIUM AND STEEL ALLOYS Parameters C and m entering the Paris’ law are usually impossible to be estimated according to theoretical con- siderations and fatigue tests have to be performed. How- ever, many Authors [3, 13, 29] experimentally observed a very stable relationship between the parameters C and m , which is usually represented by the following empirical formula: (13) usually written in a logarithmic form: (14) m C AB = log log log C A m B = +

7 log log(7.6 10 ) C − ≅ × +

2 log(1.67 10 ) for steels, log(2.86 10 ) for Al alloys. − − × × 2

m

(18)

6 log log(2.5 10 ) C − ≅ × +

m

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Material

Experimental data

Present correlation

Relative error (%)

v

K

m

C

C

CR m/cycle

IC

(

)

) m MPa

(

28.2 3.5 x 10 –6 27.3 3.5 x 10 –6 25.0 3.5 x 10 –6 27.3 3.5 x 10 –6

2.87 2.40 x 10 –10 2.41 x 10 –10 3.30 6.27 x 10 –11 6.38 x 10 –11 3.20 1.63 x 10 –10 1.18 x 10 –10 2.98 1.80 x 10 –10 1.84 x 10 –10

Alum-2219-T62 (L-T) Alum-2219-T87 (L-T) Alum-6061-T62 (L-T)

0 2

–28

Alum-7075-T73, Forged (L-T)

2

Pure titanium (Fty = 380 MPa) Ti–6Al–4V-RT (mill annealed)

46.0 1.0 x 10 –5

3.41 1.95 x 10 –11 2.14 x 10 –11

10

15.5 2.0 x 10 –7

3.11 3.80 x 10 –11 3.97 x 10 –11

4

100.0 3.0 x10 –5

3.40 5.00 x 10 –12 4.75 x 10 –12

PH13-8Mo-H1000 (steel alloy)

–5

Table 2. Experimental assessment of the proposed correlation for aluminium, titanium and steel alloys according to the NASGRO database [35].

In both cases, a good agreement between the proposed estimation based on an average value of the critical stress-intensity factor and the experimental relationships in Eq. (17) is achieved. Another source of experimental data is [34], and is based on the NASGRO program [35], which is one of the most comprehensive database of fatigue crack growth curves for aerospace alloys. These experimental data concern the material fracture toughness, the Paris’ law parameters, as well as the crack growth rate corresponding to K max ≅ K IC for fatigue tests characterized by 0 R = (see Tab. 2). As previously outlined, the fracture toughness data and the values of ν CR are almost constant for each class of materials. This property is very well evidenced by the 2219-T62, 2219-T87, 6061-T62 and 7075-T73 Alumin- ium alloys. The application of Eq. (9) permits to predict the value of the Paris’ law parameter C as a function of m and to compare it with the experimental one reported in the fifth column of Tab. 2. The agreement between the experimental data and the predictions made according to our correlation is noticeably good, as also evidenced by the relative percentage error reported in the last column of Tab. 2. 5 CONCLUSIONS To shed light on the controversy about the existence of a correlation between the Paris’ constants, both self- similarity concepts and the condition that the Paris’ law instability corresponds to the Griffith-Irwin instability at the onset of rapid crack growth have been profitably used. Comparing the functional expressions derived from these two independent approaches, an approximate rela- tionship between C and m has been proposed. According to this theory, the parameter C is also dependent on the

fracture toughness of the material, on the crack growth rate at the onset of crack instability, and on the loading ratio. The main consequence of this correlation is that only one macroscopic parameter is needed for the charac- terization of damage during fatigue crack growth. A good agreement between the theoretical predictions obtained using this correlations and experimental data has been achieved. From the engineering standpoint, it has to be emphasized that our proposed correlation constitutes a useful tool for design purposes. In fact, in case of a lack of experimental fatigue data for a new material to characterize, one could, as a first approximation, determine the parameter C as a function of the exponent m according to Eq. (11). Then, a parametric analysis by varying the exponent m in its usual range of variation can be performed and numerical simulations of fatigue crack growth can be put forward. Parameters CR v and IC K entering the correlation can be either known in advance, or estimated from materials with similar composition, thermal treatment and me- chanical properties (see also [36–38]). 6 ACKNOWLEDGEMENTS Support of the European Union to the Leonardo da Vinci Project “Innovative Learning and Training on Fracture (ILTOF)” is gratefully acknowledged. 7 REFERENCES [1] R.O. Ritchie, “Influence of microstructure on near- threshold fatigue-crack propagation in ultra-high strength steel”, Metal Science, 11 (1977) 368–381.

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